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Teoria dei grafi: che cos’è e perché è importante

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La teoria dei grafi è una delle più rilevanti nel campo della matematica, dell’informatica e della geometria combinatoria. Si tratta di una teoria che si propone di studiare i grafi, che sono oggetti discreti che permettono di schematizzare una grande varietà di situazioni e di processi e spesso di consentirne delle analisi in termini quantitativi e algoritmici.

Se sei uno studente di ingegneria dell’Università Niccolò Cusano, ne avrai sicuramente sentito parlare e ti interesserà conoscere ogni aspetto di questo argomento, In questa guida parleremo proprio dei principi di base della teoria dei grafi e delle sue applicazioni, ad esempio nel mondo informatico e delle reti. Se sei pronto, iniziamo subito.

Quello che c’è da sapere sulla teoria dei grafi

Abbiamo detto che la teoria dei grafi studia le proprietà metriche e topologiche delle relazioni binarie. Al centro di tutto c’è il grafo, ossia una struttura costituita da un insieme V di nodi e un insieme E di archi.

Ne deduciamo che G= (V,E)

Ma facciamo ora un’introduzione alla teoria dei grafi parlando del suo funzionamento di base e delle sue applicazioni più note.

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Cenni storici

Iniziamo questa guida con l’origine della teoria dei grafi, utile per capire la sua effettiva applicazione. Il primo a parlare di questa teoria fu Eulero, nella sua pubblicazione sui “Sette ponti di Königsberg”. In questo testo Eulero considerò i grafi come entità matematiche, affrontando un problema di geometria topologica, che non dipende da alcuna misurazione: il problema dei ponti di Königsberg.

Nella seconda metà del XX secolo gli studi e i risultati si sono sviluppati ampiamente, in sintonia con i forti sviluppi della combinatoria e del calcolo automatico.

In circa cinquant’anni la teoria dei grafi è un capitolo della matematica ricco di approfondimenti e con forti influenze applicative.

Definizione

Ora che abbiamo visto un po’ di storia, passiamo alla definizione della teoria dei grafi. Come abbiamo accennato, si tratta della teoria che studia i grafi, che sono oggetti discreti che permettono di schematizzare una grande varietà di situazioni e di processi e spesso di consentirne delle analisi in termini quantitativi e algoritmici.

Un grafo è composto da:

  • Oggetti semplici, detti vertici o nodi;
  • Collegamenti tra gli stessi vertici, che possono essere di diversa natura. I collegamenti non orientati (cioè dotati di una direzione, ma non dotati di un verso) vengono definiti spigoli, e il grafo è detto “non orientato”; i collegamenti orientati (cioè dotati di una direzione e di un verso) vengono invece definiti archi o cammini e il grafo risulta “orientato” o digrafo. Esistono anche eventuali dati associati a nodi e/o collegamenti; un grafo pesato è un esempio di grafo in cui a ogni collegamento è associato un valore numerico, detto “peso”.

Dal punto di vista della rappresentazione, un grafo viene rappresentato sul piano da punti o cerchietti, che rappresentano i nodi; i collegamenti tra i vertici sono rappresentati da segmenti o curve che collegano due nodi; nel caso di un grafo orientato, il verso degli archi è indicato da una freccia.

Applicazione

La teoria dei grafi è molto importante perché vede la sua applicazione in diversi campi. Le strutture che possono essere rappresentate da grafi sono presenti in più discipline, in particolare quelle afferenti alle reti.

I grafi orientati vengono spesso impiegati per rappresentare le macchine a stati finiti e molti altri formalismi, come ad esempio diagrammi di flusso, catene di Markov, schemi entità-relazione e reti di Petri. Lo sviluppo di algoritmi per manipolare i grafi è una delle aree di maggiore interesse dell’informatica.

Per fare un esempio di applicazione pratica nel mondo delle reti, la teoria dei grafi viene associata alla teoria dei sei gradi di separazione. Negli anni ’60 dello scorso secolo, lo psicologo sperimentale Stanley Milgram mise insieme alcuni studi sul fenomeno detto small world nelle reti sociali dell’uomo.  Grazie al suo esperimento, Milgram cercò di stimare la distanza tipica tra due nodi qualunque di una rete sociale, come ad esempio quella degli attori; il suo scopo era dimostrare che, in generale, queste distanze dovevano essere piccole.

Il tutto per dimostrare che la globalizzazione, in realtà, rende il mondo più piccolo, accorciando le distanze.

Lo studio delle teorie matematiche: Corsi di Laurea e Master Unicusano

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